Contenido:
 
1. El estado de tensión de un sólido 
2. El estado de deformación de un sólido 
3. Ecuaciones de Lamé y Hooke 
4. Elasticidad Plana: Tensión plana y deformación plana 
5. Deformaciones anelásticas y criterios de fallo elástico  
 
 

1. El estado de tensión de un sólido

Un sólido elástico K es un cuerpo que bajo la acción de fuerzas exteriores es capaz de cambiar de forma, es decir, de deformarse. Esto sucede por una alteración la estructura interna de dicho sólido. El objeto de la Teoría de la Elasticidad es describir dicha deformación y el estado interno de un sólido deformado. De esta teoría pueden obtenerse los datos necesarios para hacer un buen diseño en ingeniería, que permite responder a preguntas como: ¿Cuál es el esfuerzo máximo que puede soportar una pieza o elemento antes de quedar inservible? o ¿Cuál será la deformación de un sólido bajo la acción de unas cargas previstas en el propio diseño?

Matemáticamente describiremos un sólido elástico K como una región [conexa] KÌ R3, que bajo la acción de las fuerzas exteriores se deforma otra. Este conjunto K se interpreta geométricamente como la región del espacio ocupada por el sólido elástico. Matemáticamente el sólido una vez deformado se representará también por una región K'Ì R3. Debido a la deformabilidad de los sólidos K' y K son ligeramente diferentes y es objeto de la Teoría de la Elasticidad describir la relación hay entre ambos y el cambio en el estado interno del sólido debido a esta deformación K ® K'.
A continuación se presenta un breve resumen de los principales resultados tanto teóricos como experimentales que permiten definir y establecer el estado tensional de un sólido.

Hecho experimental. Si se considera un punto P cualquiera del mismo y se calcula la fuerza total aplicada sobre una pequeña porción W'P de un plano p ÉW que contiene a dicho punto, se observa que:

(i) La magnitud de esta fuerza es proporcional  al área de la porción W.
(ii) La magnitud de esta fuerza varía según el plano p, de hecho, hay una aplicación lineal que relaciona ambos vectores.
 
Este hecho experimental nos permite establecer la siguiente definición:
 

Definición. Tensión en un punto según una dirección. Consideremos un plano p de vector normal unitario nÎR3 y que intercepta un sólido elástico K, y sea P un punto de este sólido contenido en dicho plano. Consideramos también una sucesión de regiones de este plano p ÉW1 ÉW2 É... ÉWk É... cada vez más pequeñas y que contienen a P. En estas condiciones se define el vector tensión tÎR3 en la dirección nÎR3 como:

 

siendo FkÎR3 la fuerza total ejercida sobre Wk (por una de las dos mitades en que p divide a K) y S(Wk) el área de la región Wk.
 

Intuitivamente t se interpreta como la fuerza por unidad de superficie en el punto P, y se obtiene considerando una pequeña área alrededor de P y calculando el cociente entre la fuerza sobre dicha área y el valor del área, pasando esta relación al límite obtenemos una magnitud intrínseca del punto P, que no depende de lo que pase en puntos arbitrariamente próximos.
Si queremos calcular la fuerza total FT sobre el plano  no tenemos más que integrar la tensión t sobre toda la superficie de intersección del plano con el sólido:

 

Hecho experimental. Dados tres planos perpendiculares cualesquiera p1, p2 y p3 que contienen a un punto P [es decir, siendo P, el punto de intersección de los tres planos: P = p1Çp2Çp3], y si llamamos n1, n2 y n3 a los vectores normales unitarios a estos planos; se observa que:
 
(i) la tensión en P según otro plano cualquiera t(P,p) puede expresarse como t(P,p) = at1+bt2+gt3 , siendo t1, t2 y t3 las tensiones en P según los planos p1, p2 y p3 y siendo n = an1+bn2+gn3 la normal al plano p.
(ii) Además para dos planos cualesquiera pa y pb se cumple la igualdad ta · nb = tb · na (siendo ta y tb las tensiones según estos planos; na y nb los vectores normales a los mismos; · el producto escalar de dos vectores).

La condición (i) es tremendamente importante, porque nos dice que para conocer la tensión en un punto según cualquier dirección basta con hacer sólo tres medidas experimentales de la tensión en sólo tres direcciones. Esto simplifica terriblemente la determinación de las tensiones.
Matemáticamente la condición (i) permite demostrar que para cada punto hay aplicación lineal que relaciona el vector normal nÎR3 a un plano, con la tensión tÎR3 sobre éste. Además por (ii) podemos afirmar que la matriz de esta aplicación lineal en una base ortonormal cualquiera es una matriz simétrica. Estos resultados se condensan en la siguiente definición:
 

Definición. Estado tensional en un punto. Dado un punto P de un sólido elástico su estado de tensiones viene caracterizado por la aplicación lineal  TP: R3¾®R3 que relaciona una dirección n alrededor de P con la tensión y asociada a dicha dirección, es decir, t = TP(n).

Nota: Por extensión, fijada una base vectorial de R3 también se llama estado de tensión a la matriz de TP en dicha base. Dicha matriz será simétrica si la base vectorial es una base ortogonal. Normalmente, se trabaja con bases ortonormales, por lo que habitualmente el estado de tensión en un punto se representa por una matriz simétrica.
 

El hecho de que para una base ortonormal la representación del estado de tensión en dicha base es una matriz simétrica tiene relevancia física. Esta condición de simetría equivale a que el momento resultante de todas las fuerzas exteriores e internas es nulo respecto a cualquier punto de sólido. Dicho de otra manera un cuerpo que no esté en equilibrio vendrá descrito en general por un tensor tensión cuya representación respecto a una base ortonormal no será una matriz simétrica.
Además puede demostrarse que si la representación de una aplicación lineal en una base ortonormal es una matriz simétrica entonces podemos encontrar al menos una base en la que la matriz de dicha aplicación lineal sea diagonal es decir:

 

Es decir, la base en la que encontramos esta representación  está formada por vectores propios de la aplicación lineal TP. Este hecho motiva la siguiente definición:

 
Definición. Tensiones principales en un punto. Dada una base vectorial en la que el estado de tensiones en el punto P venga dado por una matriz diagonal, cada uno de los tres valores que aparecen en la diagonal recibe el nombre de tensión principal. Y cada uno de los vectores de esta base recibe el nombre de dirección principal .
 

Llegados a este punto tan sólo nos queda modelar el estado de tensiones de todo el sólido en su conjunto y no únicamente el estado tensional de un único punto. Para hacer esto hemos de definir un objeto matemático con propiedades suficientemente notables como para caracterizar adecuadamente las propiedades de un sólido elástico. Cómo el estado de un sólido elástico quedará determinado si conozco el estado tensional de cada uno de sus puntos, en principio no es necesario introducir ningún nuevo hecho experimental nuevo para definir matemáticamente el estado tensional de un sólido. Esto es lo que muestra la siguiente definición:

 
Definición. Estado tensional de un sólido. Llamaremos estado tensional de un sólido K a la aplicación  T: K¾®L(R3) que asigna a cada punto P la aplicación TP definida anteriormente.
 

   Un campo vectorial es una aplicación que asigna un vector a cada punto. Nuestra definición va un poco más allá y asigna a cada punto (fijada una base) una matriz, es lo que se conoce técnicamente como campo tensorial. Obsérvese también que si P y Q son dos puntos de un sólido elástico, en general, no existe una base en la que los estados de  tensión en P y en Q estén representados simultáneamente por matrices diagonales. En general, las bases en las que TP y TQ adoptan la forma diagonal no coinciden. Si [TP] y [TQ] denotan las matrices de TP  y TQ referidas a una misma base, existirá una base común de vectores propios (en la que ambos estados de tensión diagonalicen simultáneamente) si y sólo si: [TP]·[TQ] = [TQ]·[TP].

Estas definiciones completan la caracterización del estado tensional de un sólido como un campo tensorial de matrices simétricas. Podemos preguntarnos ahora a la inversa si todo campo tensorial simétrico definido sobre un sólido K, puede representar un estado de tensión del mismo. O más sencillamente dada una matriz simétrica y un punto P, ¿puede corresponder dicha matriz a un estado de tensión de dicho punto físicamente realizable?. La respuesta es, en general, que no y son necesarias condiciones adicionales para asegurar que dicho "estado de tensión" sea realizable. A continuación se detallan las condiciones necesarias y suficientes para que una matriz simétrica o un campo tensorial representen un estado de tensión de un punto o de un sólido:

Una matriz simétrica representa un estado de tensión en un punto si y sólo si todas las tensiones principales son mayores que  -E/2(1-2n). Si esta condición no se cumple las ecuaciones de Lamé no conducen a un estado de deformación físicamente realizable.

Un campo tensorial simétrico representa un estado de tensión en un sólido si y sólo si:
(i) Para todo punto del sólido, las tensiones principales son mayores que
 -E/2(1-2n).
(ii) Cada uno de los elementos de la matriz que representa el campo es diferenciable dos veces.
(iii) Se verifican las siguientes ecuaciones llamadas ecuaciones de compatibilidad. Que para el caso de la elasticidad lineal vienen dadas  por:

 

Además de estas restricciones, el tensor tensión debe cumplir las llamadas ecuaciones de equilibrio, que son las condiciones necesarias y suficientes para que todo punto del sólido deformable se halle en equilibrio bajo la acción de fuerzas de volumen b = (bx, by, bz)ÎR3 y fuerzas de superficie  f = (fx, fy, fz)ÎR3. Dichas ecuaciones son, para puntos interiores:

 

Es decir, estas ecuaciones diferenciales deben satisfacerse para todo punto P que sea un punto interior de K, es decir,  tal que PÎint(K). Para puntos de la superficie del sólido elástico, también llamados puntos exteriores deben verificarse unas ecuaciones diferentes en las que interviene (fx, fy, fz) en lugar de (bx, by, bz), estas ecuaciones son:

fx = sxxnx + sxyny + sxznz
fy = syxnx + syyny + syznz
fz = szxnx + szyny + szznz

Estas ecuaciones deben verificarse para todo punto de la superficie  o frontera topológica del cuerpo K, es decir para todo P tal que PÎðK (El vector n = (nx, ny, nz) es el vector normal al sólido dirigido hacia fuera en el punto considerado).